Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
Cho tam giác ABC và O là điểm bất kì nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
a) dfrac{OP}{AP}+dfrac{OQ}{BQ}+dfrac{OR}{CR}1
b) dfrac{AP}{OP}+dfrac{BQ}{OQ}+dfrac{CR}{OR}ge9
c) Trong 3 tỉ số: dfrac{OA}{OP},dfrac{OB}{OQ},dfrac{OC}{OR} có một tỉ số không nhỏ hơn 2, có một tỉ số không lớn hơn 2
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC và O là điểm bất kì nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{OP}{AP}+\dfrac{OQ}{BQ}+\dfrac{OR}{CR}=1\)
b) \(\dfrac{AP}{OP}+\dfrac{BQ}{OQ}+\dfrac{CR}{OR}\ge9\)
c) Trong 3 tỉ số: \(\dfrac{OA}{OP},\dfrac{OB}{OQ},\dfrac{OC}{OR}\) có một tỉ số không nhỏ hơn 2, có một tỉ số không lớn hơn 2
Cho tam giác ABC, O là điểm bất kì nằm tring tamm giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt{2}\)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. 1. CM: 1/AM^2 +1/AK^21/AB^2. 2. Biết số đo góc MAN45 độ, CM+CN7cm, CM-CN1cm. Tính số đo góc AMN? 3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ,OR lần lượt vuông góc với IK,AK, AI (P thuộc IK, Q thuộc AK, R thuộc AI). Xác định vị trí điểm O để OP^2 + OQ^2 + OR ^2 đạt...
Đọc tiếp
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. 1. CM: 1/AM^2 +1/AK^2=1/AB^2. 2. Biết số đo góc MAN=45 độ, CM+CN=7cm, CM-CN=1cm. Tính số đo góc AMN=? 3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ,OR lần lượt vuông góc với IK,AK, AI (P thuộc IK, Q thuộc AK, R thuộc AI). Xác định vị trí điểm O để OP^2 + OQ^2 + OR ^2 đạt giá trị nhỏ nhất
Cho hình thang ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của AD và BC, OI cắt AB tại E, cắt CD tại F.
a) C/m: \(\frac{OA+OB}{OC+OC}=\frac{IA+IB}{IC+ID}\)
b) C/m: EA=EB.
c) Kẻ OP // AB, PϵAD. Chứng minh : \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OP}\)
20 tháng 6 2019 lúc 10:46
Cho hình thang ABCD có đường cao AP và BQ cùng bằng đáy nhỏ AB (P,Q thuộc CD) và \(\widehat{BCD}+\widehat{ADC}=90^o\). Gọi E và F lần lượt là giao điểm của AP và BD; BQ và AC. Đường thẳng EF cắt AD và BC ở M,N. Chứng minh: EM = FN.
Cho ΔABC đều cạnh a. Điểm Q di động trên AC và điểm P di động trên tia đối của tia CB sao cho AQ.BP = \(a^2\). Đường thẳng AP cắt BQ tại M. Cm: MA + MC = MB.
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Lấy M bất kì thuộc đoạn AH, P thuộc tia BM sao cho CP=CA ; Q thuộc tia CM sao cho BQ=BA, hai đường thẳng CP và BQ cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, Q, E, H cùng nằm trên một đường tròn
b) EP=EQ
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.
1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A.
2. Chứng minh IP // OQ. 3. Chứng minh rằng AP = PQ.
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.
Cho tam giác đều ABC và O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AO, BO, CO với BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}+\frac{1}{OP}\right)\)
b) \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}\le\frac{2}{3}\left(\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}+\frac{1}{OC}\right)\).