Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có B, C, O cố định. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. Gọi M là trung điểm của BCa) Chứng minh: AB.AE = AD.ACb) Tứ giác BFCH là hình gì?c) Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng và OM = \(\dfrac{1}{2}\)AH

Answer 1

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AB\cdot AE\)

b: Xét (O) có

ΔABF nội tiếp

AF là đường kính

Do đó: ΔABF vuông tại B

=>BF vuông góc AB

mà CH vuông góc AB

nên BF//CH

Xét (O) có

ΔACF nội tiếp

AF là đường kính

Do đó: ΔACF vuông tại C

=>AC vuông góc CF

mà AC vuông góc BH

nên BH//CF

Xét tứ giác BHCF có

BH//CF

BF//CH

Do đó: BHCF là hình bình hành

c: BHCF là hình bình hành

=>BC cắt HF tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HF

=>H,M,F thẳng hàng