Question

Cho tam giác ABC nhọn.Vẽ về phía ngoài ΔABC các tam giác ABD và ACE đều vuông cân tại A .AH vuông góc BC.DI và EK vuông góc với đường thẳng AH(I,K thuộc đường thẳng AH).CMR

a,tam giác ABH=tam giác DAI

b,DI=EK

c,Cm AH cắt DE tại trung điểm DE

Answer 1

Dễ nhưng dài nên lười đánh máy quá:")

a) Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\)

Mà \(\widehat{DAI}+\widehat{DAB}+\widehat{BAH}=180^O\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DAI}+90^o+\widehat{BAH}=180^O\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DAI}+\widehat{BAH}=90^o\)

=> \(\widehat{DAI}=\widehat{ABH}\)( cùng phụ BAH)

Xét ∆ABH và ∆DAI:

AB=AD(∆ABD vuông cân tại A)

\(\widehat{AHB}=\widehat{DIA}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{DAI}\left(cmt\right)\)

=>∆ABH=∆DAI (ch.gn)

b) Theo câu a: ∆ABH=∆DAI

=> AH=DI (2 cạnh t/ứ)(1)

Cmtt câu a ta được ∆AKE=∆CHA 

=> EK=AH (2 canh t/ứ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DI=EK

c) Gọi giao điểm của DE và HA là F

Xét ∆FID và ∆FKE:DI=K (cm ở câu b)

\(\widehat{FID}=\widehat{FKE}=90^o\)

\(\widehat{IFD}=\widehat{KFE}\) (2 góc đối đỉnh)

=> ∆FID=∆FKE (cgv.gn)

=> DF=EF (2 canh t/ứ)

=> F là trung điểm của DE 

=> AH cắt DE tại trung điểm của DE