Chương III - Góc với đường tròn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đoàn Minh Hiếu

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB<AC). Các đường cao BD,CE cắt nhau tại H

a. Chứng minh các tứ giác BCDE, ADHE nội tiếp

b.Phân giác góc BAC cắt BC tại M và đường tròn (O) tại N. Chứng minh AM là phân giác góc HAO

c. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại K. Chứng minh KM²=KB.KC

Akai Haruma
7 tháng 7 2020 lúc 12:36

Lời giải:

a) Vì $BD, CE$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên:

$\widehat{BEC}=\widehat{BDC}(=90^0)$

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên tứ giác $BCDE$ nội tiếp.

Tứ giác $ADHE$ có: $\widehat{AEH}=90^0; \widehat{ADH}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180^0$. Hai góc này ở vị trí đối nhau nên $ADHE$ là tgnt.

Ta có đpcm.

b)

Vì $AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}(*)$

Mặt khác:

$H$ là trực tâm $ABC$ nên $AH\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{BAH}=90^0-\widehat{ABC}(1)$

Tam giác $AOC$ cân tại $O$ nên $\widehat{OAC}=\frac{180^0-\widehat{AOC}}{2}=\frac{180^0-2\widehat{ABC}}{2}=90^0-\widehat{ABC}(2)$ (tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{OAC}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \widehat{BAM}-\widehat{BAH}=\widehat{CAM}-\widehat{OAC}$

hay $\widehat{HAM}=\widehat{OAM}$

$\Rightarrow AM$ là tia phân giác $\widehat{HAO}$ (đpcm)

c)

Theo tính chất tiếp tuyến ta dễ dàng chỉ ra được $KA^2=KB.KC(3)$

Ta có:

$\widehat{KAM}=\widehat{KAB}+\widehat{BAM}$. Trong đó:

$\widehat{KAB}=\widehat{BCA}=\widehat{MCA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nt chắn cung đó)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

$\Rightarrow \widehat{KAM}=\widehat{MCA}+\widehat{CAM}=180^0-\widehat{AMC}=\widehat{KMA}$

$\Rightarrow \triangle KAM$ cân tại $K$

$\Rightarrow KM=KA(4)$

Từ $(3); (4)\Rightarrow KM^2=KB.KC$ (đpcm)

Akai Haruma
7 tháng 7 2020 lúc 12:41

Hình vẽ:

Góc với đường tròn


Các câu hỏi tương tự
Yến Phạm Hải
Xem chi tiết
Hà Hoàng
Xem chi tiết
Phương Nghi
Xem chi tiết
Nam Vương Thành
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Phiến
Xem chi tiết
Tuấn Khanh Nguyễn
Xem chi tiết
Vy
Xem chi tiết
Vũ Bùi Trung Hiếu
Xem chi tiết
hoài trần
Xem chi tiết