Question

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O ,2 đường cao BD và CE của tam giác ABC giao nhau tại H . kẻ đường kính AK của đường tròn O . KH cắt đường tròn O tại N

A/chứng minh năm diểm A,N,E,H.D cùng thuộc 1 đường tròn

B/ chứng minh AK vuông góc ED

C/ AN cắt BC tại Q , chứng minh 3 điểm Q,E,D thẳng hàng

thank UwU

Answer 1

a) Ta có: \(\angle AEH+\angle ADH=90+90=180\Rightarrow AEHD\) nội tiếp (1)

Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ANK=90\)

\(\Rightarrow\angle ANH+\angle ADH=90+90=180\Rightarrow ANHD\) nội tiếp (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A,N,E,H,D\) cùng thuộc 1 đường tròn

b) Ta có: \(\angle BEC=\angle BDC=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle ADE=\angle ABC\)

Ta có: \(\angle OAC=\dfrac{180-\angle AOC}{2}=90-\dfrac{1}{2}\angle AOC=90-\angle ABC\)

\(\Rightarrow\angle ADE+\angle OAC=90\Rightarrow AO\bot DE\)

c) DE cắt BC tại Q'.Q'A cắt (O) tại N'

Xét \(\Delta Q'EB\) và \(\Delta Q'CD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle Q'EB=\angle Q'CD\\\angle CQ'Dchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta Q'EB\sim\Delta Q'CD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{Q'E}{Q'C}=\dfrac{Q'B}{Q'D}\Rightarrow Q'B.Q'C=Q'D.Q'E\)

Xét \(\Delta Q'N'B\) và \(\Delta Q'CA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle Q'N'B=\angle Q'CA\\\angle CQ'Achung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta Q'N'B\sim\Delta Q'CA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{Q'N'}{Q'C}=\dfrac{Q'B}{Q'A}\Rightarrow Q'B.Q'C=Q'N'.Q'A\)

\(\Rightarrow Q'N'.Q'A=Q'D.Q'E\Rightarrow AN'DE\) nội tiếp

mà AEHD nội tiếp \(\Rightarrow A,N',D,E,H\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow N\equiv N'\Rightarrow Q\equiv Q'\Rightarrow\)  đpcm