cho tam giác ABC nhon, đường tròn tâmO đường kính BC cắt cạnh AB, ÁC lần lượt tại các điểm MN( M khác B; N khác C). Gọi H là giao điểm của BN và CM, P là giao điểm của AH và BC
(1) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường trong xác đinh tâm và bán kính
(2) chứng minh BM.BA=BD.BC
(3) trong trường hợp đặc biệt khi tâm giác ABC đều cạnh bằng 2a. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN
(4) Từ A kẻ tiếp tuyến AEvà AF của đường tròn tâm Ở dường kính BC (EF là tiếp điểm ) . CHứng minh E,H,F thẳng hàng
Mình chỉ giải đến câu c nha, câu d đang í ẹ chưa nghĩ ra
a, (O;R) có: \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Tứ giác AMHN có: \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^o+90^o=180^o\) nên tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của AH, đường kính AH
b, \(\Delta ABC\) có: BN, CM là đường cao, \(BN\cap CM=\left\{H\right\}\) nên H là trực tâm \(\Rightarrow AD\perp BC\)
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta CMB\) có:
\(\widehat{ADB}=\widehat{CMB}=90^o\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{BCM}\) (cùng phụ \(\widehat{MBC}\))
\(\Rightarrow\Delta ADB\sim\Delta CMB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{BA}=\frac{BM}{BC}\Leftrightarrow BD.BC=BM.BA\)c, \(\Delta ADC\) có: \(\widehat{ADC}=90^o\Rightarrow AC^2=AD^2+DC^2\) (định lý Py-ta-go) hay \(4a^2=AD^2+a^2\Leftrightarrow AD=a\sqrt{3}\)
\(\Delta ABC\) đều có AD, BN, CM là đường cao nên là trung tuyến
\(\Delta ABC\) đều có AD, BN, CM là trung tuyến, \(AD\cap BN\cap CM=\left\{H\right\}\) nên H là trọng tâm \(\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AD\Leftrightarrow AH=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN \(\Rightarrow AE=EH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN là \(C=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\pi\)
