Question

Cho tam giác ABC nhọn. Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của BC. Trên tia HI lấy điểm K sao cho HI = IK. Chứng minh: AH = CK

Answer 1

a)Vì H là trọng tâm của tam giác ABD đều nên HA=HB và góc HAB= HBA =1/2DAB= 30°

Xét tam giác HBI = tam giác KCI (c.g.c) => HB= CK =>AH=CK

b) ta có: các góc:

HAE= HAB + BAC+CAE=30°+BAC+60°=90°+BAC (1)

Lại có: KCE= 360° - ACE - ACB - BCK

=> KCE= 360°- 60°- ACB- HBI

=> KCE= 300° - ACB- HBA- ABC

=> KCE= 300°- (ABC+ACB)-30°

=> KCE= 270°- ( 180°- BAC)

=> KCE= 90°+ BAC (2)

Từ (1) và (2) => góc KCE= góc HAE

=> tam giác AHE= tam giác CKE

c) Ta có: các góc:

AEH+ HEC=AEC=60°

Mà AEH= CEK( tam giác AHE = tam giác CKE)

=> CEK +HEC= 60° => HEK =60°(3)

Mặt khác: HE= KE( tam giác AHE= tam giác CKE)=> tam giác HEK cân tại E (4)

Từ (3) và (4) => tam giác HEK đều