Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm của CD và BE, K là giao điểm của AB và DC.
a) Chứng minh rằng: tam giác ADC bằng tam giác ABE.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh tam giác AMN đều.
Các bạn chỉ cần giúp mình phần b thui, phần a mình làm được rùi, không cần vẽ hình nha!!!!!!!
Ta có hình vẽ:
a/ Ta có: tam giác ABD là tam giác đều
=> góc DAB = 600
Ta có: tam giác ACE là tam giác đều
=> góc EAC = 600
=> góc DAB = góc EAC
=> góc DAB + góc BAC = góc EAC + góc BAC
hay góc DAC = góc BAE
Xét tam giác ADC và tam giác ABE có:
AD = AB (tam giác ABD đều)
góc DAC = góc BAE (cmt)
AE = AC (tam giác ACE đều)
=> tam giác ADC = tam giác ABE (c.g.c)
b/ Ta có: M là trung điểm của DC
=> AM là trung tuyến của tam giác ADC
Ta lại có: N là trung điểm của BE
=> AN là trung tuyến của tam giác ABE
Mà tam giác ADC = tam giác ABE (ý a)
=> AM = AN (đều là trung tuyến của hai tam giác bằng nhau)
=> tam giác AMN cân.
Ta có: góc DAC = góc BAE (cmt)
Ta có: góc BAE = góc BAM + góc MAN + góc NAE
=> góc MAN = góc BAE - (góc BAM + góc NAE) (1)
Ta lại có: góc DAC = góc DAB + góc BAM + góc MAC
hay góc DAC = 600 + góc BAM + góc MAC
=> góc MAN = DAC - (600 + góc BAM + góc MAC) (2)
Thế (1) vào (2) ta có:
góc MAN = 600 + BAM + MAC - BAM - NAE
hay góc MAN = 600 + (MAC - NAE)
Xét tam giác AMC và tam giác ANE có:
AM = AN (cmt)
AE = AC (tam giác ACE đều)
MC = NE (vì DC = BE mà M,N lần lượt là trung điểm của DC,BE)
=> tam giác AMC = tam giác ANE (c.c.c)
=> góc MAC = góc NAE (2 góc tương ứng)
Trở lại biểu thức, ta có:
góc MAN = 600 + (góc MAC - góc NAE)
Mà MAC = NAE => góc MAC - góc NAE = 00
=> góc MAN = 600
Ta có: tam giác AMN cân
Mà góc MAN = 600
=> tam giác AMN đều
-> Ta có: đpcm.
