Chương I - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngọc Hạnh

cho tam giác ABC, một điểm M tùy ý trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, Ac, AB tại D,E, F. Chứng minh rằng: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}\) là hằng số

Phương Ann
26 tháng 2 2018 lúc 20:06

Ôn tập chương II - Đa giác. Diện tích đa giác

• Đặt \(S_{ABC}=S;S_{MBC}=S_1;S_{MAC}=S_2;S_{MAB}=S_3\)

• Dựng MK ⊥ BC và AH ⊥ BC

⇒ MK // AH

\(\Rightarrow\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{MK}{AH}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times MK\times BC}{\dfrac{1}{2}\times AH\times BC}=\dfrac{S_1}{S}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AD}=1-\dfrac{MD}{AD}=1-\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{S_2+S_3}{S}\)

• Tương tự, ta cũng có: \(\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{S_1+S_3}{S};\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{S_1+S_2}{S}\)

• Cộng vế theo vế, ta có:

\(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{2\left(S_1+S_2+S_3\right)}{S}=2=const\)

Vậy ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
illumina
Xem chi tiết
Miền Nguyễn
Xem chi tiết
Minz Ank
Xem chi tiết
khôi lê nguyễn kim
Xem chi tiết
Phạm Thị Thùy Dương
Xem chi tiết
Tina Nguyễn
Xem chi tiết
illumina
Xem chi tiết
Kiều Linh Anh
Xem chi tiết
Dương Thị Trà My
Xem chi tiết