cho tam giác ABC , E và D lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . gọi G là giao điểm của CE và BD , H và K là trung điểm của BG và CG
a, tứ giác DEHK là hình gì ? vì sao
b, tam giác ABC cần thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật
c, trong điều kiện b hãy tính tỉ số diện tích của hình chữ nhật DEHK với diện tích tam giác ABC
( vẽ cả hình hộ mình )
a)
ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.
\(\left\{{}\begin{matrix}\Rightarrow BH=GH=GD\\\Rightarrow EG=GK=KC\end{matrix}\right.\)
hay G là trung điểm của EK và HD.
tứ giác EDKH có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
do đó tứ giác EDKH là hình bình hành.
b) để hình bình hành EDKH là hình chữ nhật thì EK=HD
\(\Rightarrow BD=EC\)\(\Rightarrow\:\:\Delta ABC\:\:cân\)
vậy để hình bình hành EDKH là hình chữ nhật thì tam giác ABC cân
c) vẽ đường cao AI vuông góc với BC.
khi đó AI cũng là đường trung tuyến.
\(\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AI\)
ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}BE=EA\\AD=DC\end{matrix}\right.\) nên ED là đường trung bình của tam giác ABC.
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ED\text{//}BC\\2ED=BC\end{matrix}\right.\)
vì ED//BC và \(AI\perp BC\) nên \(ED\perp AI\)
đồng thời \(EH\perp ED\) nên EH//AI.
ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}EH\text{//}AI\\BE=EA\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow EH=\dfrac{AG}{2}\)
hay \(EH=\dfrac{\dfrac{2}{3}AI}{2}=\dfrac{1}{3}AI\Leftrightarrow3EH=AI\)
ta có :\(S_{\Delta ABC}=\dfrac{AI.BC}{2}=\dfrac{3EH.2ED}{2}=3EH.ED=3S_{EDHK}\)
vậy \(\dfrac{S_{EDHK}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}\)
