Xét \(\Delta ABC\) là tam giác đều (gt)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}\\AB=AC=BC\end{matrix}\right.\) (tính chất tam giác đều)
Có : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\\E\in BC\\F\in AC\end{matrix}\right.\) (gt)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\\AC=CF+CF\\BC=BE+CE\end{matrix}\right.\)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AD=BE=CF\\AB=AC=BC\end{matrix}\right.\) (cmt)
=> \(BD=AF=CE\)
Xét \(\Delta ADF;\Delta BED\) có :
\(AF=BD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{DAF}=\widehat{EBD}\) (gt)
\(AD=BE\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ADF=\Delta BED\left(c.g.c\right)\)
=> \(DF=DE\) (2 cạnh tương ứng) (1)
Xét \(\Delta ADF;\Delta CEF\) có :
\(AF=EC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{DAF}=\widehat{FCE}\) (tam giác ABC đều - gt)
\(DA=FC\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ADF=\Delta CEF\left(c.g.c\right)\)
=> \(DF=EF\) ( 2 cạnh tương ứng) (2)
- Từ (1) và (2) => \(DF=DE=EF\)
Xét \(\Delta DEF\) có :
\(DF=DE=EF\) (cmt)
=> \(\Delta DEF\) là tam giác đều (đpcm)
a Xét \(\Delta DBE\) và \(\Delta ECF\) có :
Vì BE = CF và BC = AC
\(\Rightarrow\) CE = FA
BE = CF (gt)
Ta có \(\widehat{CBA}+\widehat{DBE}=\widehat{FCE}+\widehat{ACB}\) (2 góc kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{FCE}=\widehat{DBE}\)
\(\Rightarrow\Delta DBE=\Delta ECF\) (c . g . c)
\(\Rightarrow\) DE = EF
Xét \(\Delta DBE\) và \(\Delta AFD\) có :
Vì BE = AD và BA = BC
\(\Rightarrow\) FA = BD
BE = AD (gt)
Ta có : \(\widehat{EAD}+\widehat{CAB}=\widehat{DBE}+\widehat{CBA}\) (kề bù)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DBE}=\widehat{FAD}\)
\(\Rightarrow\Delta DBE=\Delta AFD\) (c . g . c)
\(\Rightarrow\) DE = DF
Vì DE = DF , DE = EF
\(\Rightarrow\) DE = DF = EF (T/C bắc cầu)
\(\Rightarrow\Delta FDE\) là tam giác đều
