Cho tam giác ABC có trung tuyến AD, gọi E là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng của điểm D qua E.
1. Chứng minh: Tứ giác ANBD là hình bình hành
2. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANBD là :
a) Hình chữ nhật
b) Hình thoi
c) Hình vuông
3. Gọi M là giao điểm của NC với AD, chứng minh EM = 1/ 4 BC
1. Xét tứ giác ANBD có EN = ED ; EA = EB
=> Tứ giác ANBD là hình bình hành
2.a) Để hình bình hành ANBD là hình chữ nhật thì \(\widehat{ADB}=90^o\)
Xét \(\Delta ABC\) có AD là trung tuyến ; AD là đường cao
=> \(\Delta ABC\) cân tại A
Vậy \(\Delta ABC\) cân tại A thì tứ giác ANBD là hình chữ nhật
b) Để hình bình hành ANBD là hình thoi thì \(AB\perp ND\)
Có ED // AC (theo tính chất đường trung bình ) ; \(AB\perp ND\Rightarrow AC\perp AB\)
=> \(\Delta ABC\) vuông tại A
Vậy để tứ giác ANBD là hình thoi thì \(\Delta ABC\) vuông tại A
c) Để hình bình hành ANBD là hình vuông thì tứ giác ANBD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi
=> \(\Delta ABC\) vuông cân tại A
Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại A thì tứ giác ANBD là hình vuông
3. Có AN // DB => AN // CD
AN = DB (vì tứ giác ANBD là hình bình hành ) mà BD = DC => AN = DC
=> Tứ giác ANDC là hình bình hành
mà M là giáo điểm của AD và NC
=> NM = MC
Xét \(\Delta NDC\) có EN = ED ; MN = MC
=> EM là đường trung bình
=> EM = \(\frac{1}{2}DC\left(1\right)\)
mà \(DC=BD=\frac{1}{2}BC\) (2)
=> \(EM=\frac{1}{4}BC\)
