Cho tam giác ABC có hai đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Các đường thẳng kẻ từ B vuông góc với AB và kẻ từ C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Chứng minh:
a) BHCD là hình bình hành
b) AI.AB=AK.AC
c) tam giác AKI đồng dạng với tam giác
d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để DH đi qua A, khi đó tứ giác BHCD là hình gì?
Giúp mình với, mai mình phải nộp rồi. Cảm ơn ạ.
a) △ AKB ~ △AIC (g - g) ( \(\widehat{K}=\widehat{I}=90^0;\)\(\widehat{A}\) chung) (3)
⇒ \(\widehat{ACI}=\widehat{ABK}\)
⇒ \(90^0-\widehat{ACI}=90^0-\widehat{ABK}\)
⇒ \(\widehat{HCD}=\widehat{HBD}\) (1)
xét tứ giác AKHI có
\(\widehat{KHI}=360^0-\widehat{A}-\widehat{HKA-}\widehat{HIA}=180^0-\widehat{A}\)
tương tự \(\widehat{D}=180^0-\widehat{A}\)
⇒ \(\widehat{KHI}=\widehat{D}\) (2)
từ (1) và (2) ⇒ BHCD là hình bình hành
b) từ (3) ⇒ \(\frac{AI}{AK}=\frac{AC}{AB}\) (4)
⇒ AI.AB = AK.AC
c) xét △AKI và △ABC có
\(\widehat{A}\) chung; (4)
⇒ △AKI ~ △ABC (c-g-c)
d) gọi K là giao của DH và BC
vì A,D,H thăng hàng và H là trực tâm nên AD ⊥ BC hay HD ⊥ BC
⇒ BDCH là hình thoi
⇒ KC = KB
⇒ △ ABK = △ ACK (c-g-c)
⇒ △ ABC cân tại A
vậy △ ABC cân tại A thì DH đi qua A và BHCD là hình thoi
