Question

Cho tam giác ABC có góc A=90 độ và AB=AC. Trên cạnh AB, AC lấy hai điểm D và E sao cho AD=AE. Từ A và D kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC tại M và N. Tia ND cắt CA ở I. CM:

a, A là trung điểm của CI

b, CM=MN

Answer 1

a/ Gọi giao điểm của DN và BE là H

xét \(\Delta BDH\) vuông tại H có:

\(\widehat{DBH}+\widehat{D_2}+\widehat{DHB}=180^o\)

hay \(\widehat{DBH}+\widehat{D_2}+90^o=180^o\)

=> \(\widehat{DBH}+\widehat{D_2}=90^o\) (1)

tương tự với \(\Delta ABE\) vuông tại A có:

\(\widehat{DBH}+\widehat{E_1}=90^o\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{D_2}=\widehat{E_1}\) mà \(\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) (đối đỉnh)

=> \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\)

Vì tg ABC có góc A = 90^o

^=> \(\Delta ADI\) vuông tại A

Xét 2\(\Delta\) vuông: \(\Delta ADI\) và \(\Delta AEB\) có:

AD = AE (gt)

\(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta ADI=\Delta AEB\left(cgv-gnk\right)\)

=> AI = AB

mà AB = AC (gt)

=> AI = AC (3)

lại có ND cắt CA ở I (gt)

=> CA trùng AI (4)

Từ (3) và (4) => A là trung điểm của CI (đpcm)

b/ trưa đi học về rảnh thì lm nốt cho

Answer 2

Gọi K là giao điểm của AM và BE

Ta có: IH \(\perp\) BE (gt)

AK \(\perp\) BE (gt)

\(\Rightarrow\) IH // AK hay IN // AM

Mà AI = CI (theo câu a)

Do đó: CM = MN (theo định nghĩa của t/c đường trung bình trong tam giác).