Question

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và 2 điểm M,N sao cho : \(\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

Chứng minh: MN luôn đi qua điểm cố định

Answer 1

Lời giải:

Lấy điểm $I$ thỏa mãn \(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

Do $A,B,C$ cố định nên điểm $I$ cố định.

Khi đó ta có:

\(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})\)

\(=6\overrightarrow{MI}+(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})=6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{0}=6\overrightarrow{MI}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{MN}=6\overrightarrow{MI}\Rightarrow M,N,I\) thẳng hàng.

Tức là $MN$ đi qua điểm $I$ cố định.