Question

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM=\(\frac{1}{2}\)BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua G kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt AB tại P và AC tại Q. CMR:\(\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AQ^2}=\frac{9}{BC^2}\)

Em cần gấp mọi người giúp em với ạ

Answer 1

Lời giải:

Tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM$ bằng 1 nửa cạnh đối diện $BC$ nên $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ (tính chất quen thuộc)

$\Rightarrow APQ$ là tam giác vuông tại $A$

Xét tam giác vuông $APQ$ có đường cao $AG$, áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AQ^2}=\frac{1}{AG^2}(1)$

Mà $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{BC}{2}=\frac{BC}{3}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AQ^2}=\frac{9}{BC^2}$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: