Lời giải:
a)
Tính chất: Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ bất kỳ, đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền.
Chứng minh:
Trên tia đối của tia $MA$ lấy $N$ sao cho $MA=MN$
Ta dễ dàng chứng minh được \(BACN\) là hình bình hành có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật. Khi đó: \(MA=\frac{1}{2}NA=\frac{1}{2}BC\) (đpcm)
-------------------------
Áp dụng vào bài toán:
Xét tam giác vuông $AFH$ có $FI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(FI=\frac{1}{2}AH=IH\)
\(\Rightarrow \triangle IFH\) cân tại $I$
\(\Rightarrow \widehat{IFH}=\widehat{IHF}=90^0-\widehat{BAH}\)
Tương tự, trong tam giác vuông $BFC$: \(FK=KC\Rightarrow \) tam giác $KFC$ cân tại $K$
\(\Rightarrow \widehat{KFH}=\widehat{KCF}\)
Do đó:
\(\widehat{IFK}=\widehat{IFH}+\widehat{KFH}=90^0-\widehat{BAH}+\widehat{KCF}\)
Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{KCF}\) (cùng bằng \(90^0-\widehat{BAC}\))
Suy ra: \(\widehat{IFK}=90^0\Rightarrow FK\perp FI\) (đpcm)
b)
\(FI=\frac{1}{2}AH=3\)
\(FK=\frac{1}{2}BC=4\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $FIK$
\(IK=\sqrt{FI^2+FK^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\) (cm)
