Trong 2 góc B và C luôn có ít nhất 1 góc lớn hơn 45 độ
Giả sử đó là B
Từ B hạ BH vuông góc AC \(\Rightarrow H\) nằm giữa AC
\(\Delta ABH\) vuông cân tại H \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=BH\\AB=AH\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left(AB+AC\right)^2=\left(AH\sqrt{2}+AH+HC\right)^2\)
\(=\left[\left(\sqrt{2}+1\right)AH+\sqrt{BC^2-AH^2}\right]^2\)
\(\Rightarrow\left(AB+BC\right)^2\le\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^2+1^2\right]\left(AH^2+BC^2-AH^2\right)=\left(4+2\sqrt{2}\right)BC^2\)
\(\Rightarrow AB+AC\le\sqrt{4+2\sqrt{2}}BC\)
Mà ta dễ dàng chứng minh \(\sqrt{4+2\sqrt{2}}< \frac{8}{3}\) (bình phương)
\(\Rightarrow AB+AC\le\sqrt{4+2\sqrt{2}}BC< \frac{8}{3}BC\) (đpcm)
