Cho tam giác ABC có AB = AC, M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB.
a) Chứng minh: tam giác ACN =tam giácABM .
b) Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho M là trung điểm của BE, trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho N là trung điểm của CF. Chứng minh: A là trung điểm của EF.c
c) Chứng minh: MN song song với BC và EF.
(Vẽ hình hộ mình với ạ, mình cảm ơn trước)
a)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
mà \(AN=BN=\frac{AB}{2}\)(N là trung điểm của AB)
và \(AM=CM=\frac{AC}{2}\)(M là trung điểm của BC)
nên AN=BN=AM=CM
Xét ΔACN và ΔABM có
AC=AB(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{A}\) chung
AN=AM(cmt)
Do đó: ΔACN=ΔABM(c-g-c)
b) Xét ΔANF và ΔBNC có
FN=CN(N là trung điểm của CF)
\(\widehat{ANF}=\widehat{CNB}\)(hai góc đối đỉnh)
AN=BN(cmt)
Do đó: ΔANF=ΔBNC(c-g-c)
⇒\(\widehat{NFA}=\widehat{NCB}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{NFA}\) và \(\widehat{NCB}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên AF//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Xét ΔAME và ΔCMB có
AM=CM(cmt)
\(\widehat{AME}=\widehat{CMB}\)(hai góc đối đỉnh)
ME=MB(M là trung điểm của BE)
Do đó: ΔAME=ΔCMB(c-g-c)
⇒\(\widehat{MAE}=\widehat{MCB}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{MAE}\) và \(\widehat{MCB}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên AE//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Ta có: AF//BC(cmt)
AE//BC(cmt)
Do đó: AF//AE(định lí 3 từ vuông góc tới song song)
mà AF và AE có điểm chung là A
nên F,A,E thẳng hàng(3)
Ta có: ΔANF=ΔBNC(cmt)
⇒AF=BC(hai cạnh tương ứng)(1)
Ta có: ΔAME=ΔCMB(cmt)
⇒AE=BC(hai cạnh tương ứng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AF=AE(=BC)(4)
Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của EF(đpcm)
c) Ta có: AF//BC(cmt)
mà E,A,F thẳng hàng
nên EF//BC
Xét ΔANM có AN=AM(cmt)
nên ΔANM cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{ANM}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔANM cân tại A)(5)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ANM}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên NM//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Ta có: NM//BC(cmt)
FE//BC(cmt)
Do đó: MN//BC//EF(định lí 3 từ vuông góc tới song song)(đpcm)
