a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(AB=AC\) (tính chất tam giác cân).
Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(ACM\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(BM=CM\) (vì M là trung điểm của \(BC\))
Cạnh AM chung
=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-c-c\right).\)
b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân).
Hay \(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(BHM\) và \(CKM\) có:
\(\widehat{BHM}=\widehat{CKM}=90^0\left(gt\right)\)
\(BM=CM\) (vì M là trung điểm của \(BC\))
\(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta BHM=\Delta CKM\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(BH=CK\) (2 cạnh tương ứng).
c) Theo câu b) ta có \(\Delta BHM=\Delta CKM.\)
=> \(\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\) (2 góc tương ứng) (1).
+ Vì:
\(\left\{{}\begin{matrix}BP\perp AC\left(gt\right)\\MK\perp AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(BP\) // \(MK\) (từ vuông góc đến song song).
=> \(\widehat{PBM}=\widehat{KMC}\) (vì 2 góc đồng vị) (2).
Từ (1) và (2) => \(\widehat{HMB}=\widehat{PBM}.\)
Hay \(\widehat{IMB}=\widehat{IBM}.\)
=> \(\Delta IBM\) cân tại \(I\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
