Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia CB và BC tương ứng lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M là trung điểm của BC. Từ B và C kẻ BH _|_ AD, CK _|_ AE (H thuộc AD, K thuộc AE). Chứng minh rằng ba đường thẳng BH, CK, AM cùng cắt nhau tại một điểm.

Answer 1

Gọi O là giao điểm của BH và CK

Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

BD=CE
Do đo: ΔABD=ΔACE

Suy ra: \(\widehat{D}=\widehat{E}\)

Xét ΔHBD vuông tại H và ΔKCE vuông tại K có

DB=CE

\(\widehat{D}=\widehat{E}\)

Do đó: ΔHBD=ΔKCE
Suy ra: \(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

=>ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

hay O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: ΔBAC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là đường trug trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra A,M,O thẳng hàng

=>BH,CK,AM đồng quy