a) Xét 2 tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC ta có:
Cạnh huyền AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (tam giác ABC cân tại A)
=> ΔAHB = ΔAHC (c.h - g.n)
b) Có: ΔAHB = ΔAHC (câu a)
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (2 góc tương ứng)
Hay: \(\widehat{IAH}=\widehat{KAH}\)
Xét 2 tam giác vuông ΔIAH và ΔKAH ta có:
AH: cạnh chung
\(\widehat{IAH}=\widehat{KAH}\left(cmt\right)\)
=> ΔIAH = ΔKAH (c.h - g.n)
=> HI = HK (2 cạnh tương ứng)
c) Có: ΔIAH = ΔKAH (câu b)
=> AI = AK (2 cạnh tương ứng)
=> ΔAIK cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{AKI}=\frac{180^0-\widehat{KAI}}{2}\)
Hay: \(\widehat{AIK}=\widehat{AKI}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (1)
Có: ΔABC cân tai A (GT)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{B}\)
Mà 2 góc này lại là 2 góc đồng vị
=> IK // BC
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}IK\text{//}BC\left(cmt\right)\\BC\perp AH\left(GT\right)\end{matrix}\right.\)
=> IK ⊥ AH
Có: ΔIAH = ΔKAH (câu b)
\(\Rightarrow\widehat{IAH}=\widehat{KAH}\) (2 góc tương ứng)
=> AH là phân giác của \(\widehat{IAK}\)
\(\Rightarrow\widehat{IAH}=\widehat{KAH}=\frac{\widehat{IAH}}{2}=\frac{120^0}{2}=60^0\)
Hay: \(\widehat{IAL}=60^0\)
Gọi L là giao điểm của AH và IK
ΔAHL vuông tại L nên:
\(\widehat{AIL}+\widehat{IAL}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AIL}=90^0-\widehat{IAL}=90^0-60^0=30^0\)
Ta có: \(\widehat{AIL}+\widehat{LIH}=\widehat{ALH}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{LIH}=90^0-\widehat{AIL}=90^0-30^0=60^0\) (3)
Lại có: HI = HK (câu b) (4)
Từ (3) và (4) => ΔHIK đều
