Question

Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC, AC, qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng MN tại D

a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành

b) Chứng minh tứ giác AMCD là hình chữ nhật

c) BN cắt CD tại K . Gỉa sử AK vuông góc với AB . Chứng minh tam giác ABC đều

Answer 1

a) Ta có: AD//BC(gt)

mà M∈BC

nên AD//BM

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//AB và \(MN=\frac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà D∈MN

nên MD//AB

Xét tứ giác ABMD có

AB//MD(cmt)

AD//BM(cmt)

Do đó: ABMD là hình bình hành(Định nghĩa hình bình hành)

b) Ta có: ABMD là hình bình hành(cmt)

nên AD=BM(hai cạnh đối trong hình bình hành ABMD)

mà BM=MC(M là trung điểm của BC)

nên AD=MC

Ta có: AD//BC(cmt)

mà M∈BC

nên AD//MC

Xét tứ giác ADCM có

AD//MC(cmt)

AD=MC(cmt)

Do đó: ADCM là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(M là trung điểm của BC)

nên AM là đường cao ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

⇒\(\widehat{AMC}=90^0\)

Hình bình hành AMCD có \(\widehat{AMC}=90^0\)(cmt)

nên AMCD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)