a) Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC trong ΔABC(gt)
nên M là trung điểm của BC
\(\Leftrightarrow BM=CM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AM là đường cao ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
\(\Leftrightarrow AM\perp BC\) tại M
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABM vuông tại M, ta được:
\(AB^2=AM^2+MB^2\)
\(\Leftrightarrow AM^2=AB^2-MB^2=13^2-5^2=144\)
hay AM=12(cm)
Vậy: AM=12cm
b) Ta có: GM+AG=AM(G nằm giữa A và M)
nên AG=AM-GM
hay \(AG=AM-\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{2}{3}AM\)
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)
G\(\in\)AM(gt)
\(AG=\dfrac{2}{3}AM\)(cmt)
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
\(\Leftrightarrow\)BG là đường trung tuyến ứng với cạnh AC
mà BG cắt AC tại N(gt)
nên N là trung điểm của AC
hay NA=NC
