a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒BH=CH(hai cạnh tương ứng)
mà BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)
nên \(BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{6cm}{2}=3cm\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:
\(AB^2=AH^2+BH^2\)
\(\Leftrightarrow AH^2=AB^2-BH^2=5^2-3^2=16\)
hay \(AH=\sqrt{16}=4cm\)
Vậy: AH=4cm
b) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
mà \(AP=PB=\frac{AB}{2}\)(P là trung điểm của AB)
và \(AQ=CQ=\frac{AC}{2}\)(Q là trung điểm của AC)
nên AP=BP=AQ=CQ
Xét ΔAPQ có AP=AQ(cmt)
nên ΔAPQ cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{APQ}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAPQ cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{APQ}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{APQ}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên PQ//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
c)
Ta có: BH=HC(cmt)
mà BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)
nên H là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
BQ là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(Q là trung điểm của AC)
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(H là trung điểm của BC)
BQ\(\cap\)AH={G}
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒CG là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của ΔABC
mà CP là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của ΔABC(P là trung điểm của AB)
và CG và CP có điểm chung là G
nên C,G,P thẳng hàng(đpcm)
