a) Ta có: AB = AC (ΔABC cân tại A)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\\E\in AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+DB\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)
Và : \(\left\{{}\begin{matrix}AD=DB\left(\text{D là trung điểm của AB}\right)\\AE=EC\left(\text{E là trung điểm của AC}\right)\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(AD=BD=AE=EC\)
Xét \(\Delta ABE,\Delta ACD\) có :
\(AE=AD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{A}:Chung\)
\(AB=AC\) (GT)
=> \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\) (*)
b) Từ (*) suy ra : \(BE=CD\) (2 cạnh tương ứng)
c) Xét \(\Delta DBC,\Delta ECB\) có :
\(BD=EC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) (Tam giác ABC cân tại A)
\(BC:Chung\)
=> \(\Delta DBC=\Delta ECB\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta KBC\) có :
\(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\) (do \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)-cmt)
=> \(\Delta KBC\) cân tại K (đpcm)
d) Xét \(\Delta ABK,\Delta ACK\) có :
AB = AC (gt)
\(AK:Chung\)
\(BK=CK\left(\Delta KBCcântạiK\right)\)
=> \(\Delta ABK=\Delta ACK\left(c.c.c\right)\)
=> \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\) (2 góc tương ứng)
Do đó , \(AK\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
=> đpcm
