Question

Cho​ tam giác ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Gọi M là trung điểm của BC.

​a) Chứng minh HE. HC = HD . HB

​b) Chứng minh H, K, M thẳng hàng

​c) Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi ? Hình chữ nhật ?

Answer 1

a) Cm :HE.HC=HD.HB
Xét tam giác HEB và tam giác HDC có
góc HEB= góc HDC (=90 độ)
góc EHB= góc DHC ( đối đỉnh)
=>tam giácHEB đồng dạng tam giác HDC(g.g)
=>HE/HD=HB/HC
=> HE.HC= HD.HB
b) Cm: H,M,K thẳng hàng
Có BD vuông góc AC
CK vuông góc AC
=> BD song song CK hay BH song song CK
Có CE vuông góc AB
BK vuông góc AB
=> CE song song BK hay CH song song BK
Tứ giác BHCK có BH song song CK
CH song song BK
=> BHCK là hbh ( dhnb)
Mà M là trung điểm của đg chéo BC
=> M cũng là trung điểm của đg chéo HK
=> H,M,K thẳng hàng
c) hình bình hành BHCK là hình thoi <=> HB=HC
mà AH là đường cao của tam giác ABC
=> HB=HC<=>AH vừa là đường cao vừa là trung trực.
<=> Tam giác ABC cân tại A
Vậy tam giác ABC cân tại A thì tức giác BHCK là hình thoi .