Lời giải:
Giả sử $AB< AC$
Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên \(AM=\frac{BC}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AH}{\frac{BC}{2}}=\frac{AH}{AM}=\frac{40}{41}\Rightarrow \frac{AH}{20}=\frac{BC}{41}\).
Đặt \(\frac{AH}{20}=\frac{BC}{41}=a\Rightarrow AH=20a; BC=41a\)
\(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{AH.BC}{2}\Rightarrow AB.AC=AH.BC=20a.41a=820a^2(1)\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AB^2+AC^2=BC^2=(41a)^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (AB+AC)^2=(41a)^2+2.820a^2=3321a^2\)
\(\Rightarrow AB+AC=9\sqrt{41}a(3)\)
Từ \((1);(3)\) áp dụng định lý Vi-et đảo suy ra $AB,AC$ là nghiệm của PT \(x^2-9\sqrt{41}ax+820a^2=0\)
\(\Leftrightarrow (x-5\sqrt{41}a)(x-4\sqrt{41}a)=0\)
\(\Rightarrow AB=4\sqrt{41}a; AC=5\sqrt{41}a\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}\)
Đảo lại nếu $AB>AC$ thì \(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4}\)
