Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
\(A^2=\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)=5\left(x+y\right)\)(1)
thay \(\sqrt{x}+2\sqrt{y}=10\)vào 1 ta đc \(10^2\le5\left(x+y\right)< =>x+y\ge20\)
Cho biểu thức \(A=\left(\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}\right):\left(x-y\right)+\dfrac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}};x\ge0,y\ge0,x\ne y\)
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào x, y
cho x,y,z>0 và \(x^2+y^2+z^2=3\). Chứng minh rằng
\(A=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+y+z}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+x+z}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+x+y}}\le\sqrt{3}\)
Cho biểu thức Y=\(\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+1-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
a. Rút gọn biểu thức Y. Tìm giá trị nhỏ nhất của Y
b. cho x>1. Chứng minh rằng Y-|Y|=0
Cho x,y thỏa mãn x,y thuộc R và 0\(\le x,y\le\dfrac{1}{2}\) chứng minh rằng \(\dfrac{\sqrt{x}}{1+y}+\dfrac{\sqrt{y}}{1+x}\le\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
cho x,y,z>0 chứng minh rằng
\(\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+\dfrac{1}{4}xy+y^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+\dfrac{1}{4}yz+z^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+\dfrac{1}{4}zx+x^2}}\le2\)
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn \(x+y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\)
Chứng minh: \(\dfrac{x+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{y+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{z}}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}\)
Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x + y + z =xyz. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz\)
Với x, y, z là 3 số dương, chứng minh rằng:
\(\dfrac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}=\dfrac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\)
Với mọi x, y, z >= 0 . Chứng minh rằng
\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
