Question

Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất ?

Answer 1

Gọi hai số dương là \(x\) và \(m-x\) (với \(0\le x\le m\)). Ta có tích của chúng là:

\(P=x\left(m-x\right)=mx-x^2\)

\(\Rightarrow P'=m-2x\)

Ta có: \(P'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{m}{2}\) và \(P'\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x=\dfrac{m}{2}\) nên P đạt giá trị cực đại tại \(x=\dfrac{m}{2}\) và giá trị cực đại là: \(P=\dfrac{m}{2}\left(m-\dfrac{m}{2}\right)=\dfrac{m^2}{4}\)

So sánh với 2 giá trị đầu mút \(P\left(0\right)=0\) và \(P\left(m\right)=0\) thì thấy P lớn nhất bằng \(\dfrac{m^2}{4}\) khi \(x=\dfrac{m}{2}\).