Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a\cdot1}=2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b\cdot1}=2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c\cdot1}=2\sqrt{c}\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}\cdot2\sqrt{b}\cdot2\sqrt{c}\)
\(=2\cdot2\cdot2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\left(abc=1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a+b+c=1. CM: \(\dfrac{a}{1+b-a}+\dfrac{b}{1+c-b}+\dfrac{c}{1+a-c}\ge1\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a+b+c=1. CM: \(\dfrac{a}{1+b-a}+\dfrac{b}{1+c-b}+\dfrac{c}{1+a-c}\ge1\)
Cho a b c là 3 số thực dương thỏa a+b+c=1 CM a2/a+b+b2/b+c+c2/c+a>=1/2
Cho a,b,c là các số dương. CM bđt:
\(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9
Cho a,b,c là các số dương. Cm:
a. \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
b. \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)
Bài 1
Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Tìm min \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Bài 2:
Tìm min của \(A=3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
1. Cho n là số nguyên \(⋮\) cho 3 . CM : M = \(3^{2n}+3^n+1⋮3\)
2. Cho các số dương a,b,c và abc=1 . CM : ( a + 1 )( b + 1 )( c + 1 ) \(\ge\) 8
3 . Cho hai số thực x , y thỏa mãn \(\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\ge9\)
Tìm GTNN của biểu thức : \(Q=2x^2+\dfrac{6}{x^2}+3y^2+\dfrac{8}{y^2}\)
cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1.chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)
