Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d\right),\left(P\right)\) là : \(x^2=\left(2m+1\right)x-2m\)
hay : \(x^2-\left(2m+1\right)x+2m=0\left(I\right)\).
Do, \(\left(d\right)\cap\left(P\right)\) tại hai điểm phân biệt nên phương trình \(\left(I\right)\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta=b^2-4ac>0\)
Hay : \(\left[-\left(2m+1\right)\right]^2-4.1.2m>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-8m>0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2>0\Rightarrow m\ne\dfrac{1}{2}\).
Theo định lí Vi-ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-\left(2m+1\right)}{1}=2m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2m}{1}=2m\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài : \(y_1+y_2-x_1x_2=1\left(II\right)\)
Do các điểm trên thuộc \(\left(P\right)\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{matrix}\right.\).
Khi đó, ta viết lại phương trình \(\left(II\right)\) thành : \(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=1\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2-3.2m=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-6m=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-2m=0\)
\(\Leftrightarrow2m\left(2m-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m=0\\2m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(nhận\right)\\m=\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy : \(m=0\).