Question

Cho P=(x+y).(y+z).(z+x)+xyz

CM nếu x,y,z thuộc Z và x+y+z chia hết cho 6 thì Q=P-3xyz chia hết cho 6

Answer 1

Lời giải:

Biến đổi:

\(P=(x+y)(y+z)(x+z)+xyz=xy(x+y)+yz(y+z)+xz(z+x)+3xyz\)

\(\Leftrightarrow P=(x+y+z)(xy+yz+xz)\)

Với \(x+y+z\vdots 6\Rightarrow P\vdots 6(1)\)

Giả sử \(x,y,z\) đều là các số nguyên lẻ, khi đó \(x+y+z\) lẻ thì không thể chia hết cho $6$ (vô lý)

Do đó , phải tồn tại ít nhất một trong ba số \(x,y,z\) là số chẵn

\(\Rightarrow 3xyz\vdots 6(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow Q=P-3xyz\vdots 6\)

Ta có đpcm