Question

Cho pt \(x^3+mx-\left(m+1\right)=0\). C/m pt có 1 nghiệm với không phụ thuộc vào m . Tìm m để pt cho 3 nghiệm phân biệt trong đó đúng 1 nghiệm âm

Answer 1

\(x^3+mx-\left(m+1\right)=0\Leftrightarrow x^3-1+mx-m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+m+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+x+m+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có nghiệm \(x=1\) ko phụ thuộc m

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 1 nghiệm âm thì (1) có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm dương khác 1

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac=m+1< 0\\1+1+m+1\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)