Question

Cho p,q là hai số phức, \(q\ne0\). Chứng minh rằng nếu các nghiệm phương trình bậc hai \(x^2+px+q=0\) có Môdun bằng nhau thì \(\frac{p}{q}\) là một số thực.

Answer 1

Gọi \(x_1,x_2\) là các nghiệm phương trình và \(r=\left|x_2\right|=\left|x_2\right|\) Khi đó :

\(\frac{p^2}{q^2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1x_2}=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+2=\frac{x_1\overline{x_2}}{r^2}+\frac{x_2\overline{x_1}}{r^2}+2=2+\frac{2}{r^2}Re\left(x_1\overline{x_2}\right)\)

Là số thực, hơn nữa :

\(Re\left(x_1\overline{x_2}\right)\ge-\left|x_1\overline{x_2}\right|=-r^2\)

Do đó \(\frac{p^2}{q^2}\ge0\)

vậy \(\frac{p}{q}\) là một số thực