Chương 4: SỐ PHỨC

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thái Mỹ Hương

Cho a,b,c là ba số phức khác 0 phân biệt với \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)

a) Chứng minh rằng nếu một nghiệm phương trình \(az^2+bz^2+c=0\) có môdun bằng 1 thì \(b^2=ac\)

b) Nếu mỗi phương trình

\(az^2+bz+c=0,bz^2+cz+a=0\) có một nghiệm có Môdun bằng 1 thì \(\left|a-b\right|=\left|b-c\right|=\left|c-a\right|\)

Bùi Bích Phương
25 tháng 3 2016 lúc 4:19

a) Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm của phương trình với \(\left|z_1\right|=1\). Từ \(z_2=\frac{c}{a}.\frac{1}{z_1}\) kéo theo \(\left|z_2\right|=\left|\frac{c}{a}\right|.\frac{1}{\left|z_1\right|}=1\)

vì \(z_1+z_2=-\frac{b}{a},\left|a\right|=\left|b\right|\), ta có \(\left|z_1+z_2\right|^2=1\)

Hệ thức tương đương với 

\(\left(z_1+z_2\right)\left(\overline{z_1}+\overline{z_2}\right)=1\) tức là \(\left(z_1+z_2\right)\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\right)=1\)

\(\left(z_1+z_2\right)^2=z_1z_2\)

hay  \(\left(-\frac{b}{a}\right)^2=\frac{c}{a}\Rightarrow b^2=ac\)

Bùi Bích Phương
25 tháng 3 2016 lúc 4:32

b) Theo câu a) \(b^2=ac,c^2=ab\). Nhân các hệ thức được \(b^2c^2=a^2bc\Rightarrow a^2=bc\)

Do đó \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

Hệ tương đương  với :

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Tức là 

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+2\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(c-a\right)^2=2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)

Kéo theo 

\(\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)

Lấy giá trị tuyệt đối, được \(\beta^2=\gamma\alpha\)

Ở đây \(\alpha=\left|b-c\right|,\beta=\left|c-a\right|,\gamma=\left|a-b\right|\)

Tương tự được :

\(\alpha^2=\beta\gamma,\gamma^2=\alpha\beta,\)

Cộng các hệ thức, được :

\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\)

Tức là (\(\left(\alpha-\beta\right)^2+\left(\beta-\gamma\right)^2+\left(\gamma-\beta\right)^2=0\)

Do đó : \(\beta=\alpha=\gamma\)

Say You Do
25 tháng 3 2016 lúc 7:18

Ko nên chọn bài bạn Tuấn Anh, đi chép mạng đó.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Văn Toán
Xem chi tiết
Phương Anh
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
Lê Thị Kim Chi
Xem chi tiết
Tú Uyênn
Xem chi tiết
Khanh Huyen Nguyen
Xem chi tiết
Nguyễn Thái Quân
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
Nguyễn Huỳnh Đông Anh
Xem chi tiết