Cho phương trình: \(x^2-\left(2m+3\right)x+m^2+3m+2=0\)
a, CMR phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt
b, Định m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia.
c, Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn : \(-3< x_1< x_2< 6\)
d, Định m để phương trình có nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.
\(\Delta=\left(2m+3\right)^2-4\left(m^2+3m+2\right)=1>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Thay \(x_1=2\) vào pt ta được:
\(4-2\left(2m+3\right)+m^2+3m+2=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)
- Với \(m=0\Rightarrow x_2=2m+3-x_1=2.0+3-2=1\)
- Với \(m=1\Rightarrow x_2=2m+3-x_1=3\)
Đặt \(f\left(x\right)=x^2-\left(2m+3\right)x+m^2+3m+2\)
Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(-3< x_1< x_2< 6\)
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-3\right)>0\\f\left(6\right)>0\\-3< \frac{x_1+x_2}{2}< 6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9+3\left(2m+3\right)+m^2+3m+2>0\\36-6\left(2m+3\right)+m^2+3m+2>0\\-3< \frac{2m+3}{2}< 6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+9m+20>0\\m^2-9m+20>0\\-\frac{9}{2}< m< \frac{9}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-4< m< 4\)
Để nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia \(\Rightarrow x_1=x_2^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=x_2^2\\x_1x_2=m^2+3m+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=x_2^2\\x_2^3=m^2+3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\sqrt[3]{\left(m^2+3m+2\right)}\\x_2=\sqrt[3]{m^2+3m+2}\end{matrix}\right.\)
Mà \(x_1+x_2=2m+3\Rightarrow\sqrt[3]{\left(m^2+3m+2\right)^2}+\sqrt[3]{m^2+3m+2}=2m+3\)
Nghiệm của pt này rất xấu
