Question

Cho phương trình \(x^2-4mx+m^2-2m+1=0\) với m là tham số

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau

b, Tìm m sao cho \(|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1\)

Answer 1

Lời giải:
a) Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta'=(2m)^2-(m^2-2m+1)>0\)

\(\Leftrightarrow 3m^2+2m-1>0\)

\(\Leftrightarrow (m+1)(3m-1)>0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m< -1\\ m> \frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Khi đó, áp dụng định lý Viete:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=4m\\ x_1x_2=m^2-2m+1\end{matrix}\right.\)

Vì $x_1x_2=m^2-2m+1=(m-1)^2\geq 0$ nên $x_1,x_2$ không thể trái dấu nhau.

Ta có đpcm.

b)

\(|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1\)

\(\Rightarrow (\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2=1\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=1\)

\(\Leftrightarrow 4m-2\sqrt{(m-1)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow 4m-2|m-1|=1\)

Xét TH $m\geq 1$ hoặc $m< 1$ để phá trị tuyệt đối, kết hợp đk của $m$ ở phần a ta thu được $m=0,5$