cho phương trình \(x^2-2mx+m^2-9=0\)
a, chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
\(x^2=18-x_1\left(x_2+x_1\right)\)
c, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1,x2 của phương trình ,độc lập đối với m
giúp em với ạ Akai HarumaNguyễn Lê Phước ThịnhNguyễn Việt Lâm
Lời giải:
a) Ta thấy:
$\Delta'=m^2-(m^2-9)=9>0$ với mọi $m$ nên PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$
b)
Ở phần $a$ ta đã chỉ ra pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m$. Áp dụng định lý Vi-et với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-9\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(x_2^2=18-x_1(x_2+x_1)\)
\(\Leftrightarrow x_2^2+x_1(x_2+x_1)=18\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+x_1x_2=18\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-x_1x_2=18\)
\(\Leftrightarrow (2m)^2-(m^2-9)=18\)
\(\Leftrightarrow 3m^2=27\Leftrightarrow m^2=9\Leftrightarrow m=\pm 3\)
c) Theo hệ thức Viet đã chỉ ra ở phần b:
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+x_2)^2=4m^2\\ 4x_1x_2=4m^2-36\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=36\)
\(\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=36\Leftrightarrow |x_1-x_2|=6\) (đây chính là hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ mà không phụ thuộc vào $m$)
