a) Ta có:
\(\Delta'=b'^2-ac=\left(-m\right)^2-\left(-6m-9\right)=m^2+6m+9=\left(m+3\right)^2\ge0\forall m\)
Vậy phương trình trên luôn có 2 nghiệm với mọi m
b) Áp dụng Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m\\x_1\cdot x_2=-6m-9\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(x_1^2+x_2^2=13\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=13\\ \Leftrightarrow\left(2m\right)^2-2\left(-6m-9\right)=13\\ \Leftrightarrow\\ 4m^2-12m+18=13\\ \Leftrightarrow4m^2+12m+5=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m_1=-\frac{5}{2}\left(tm\right)\\m_2=-\frac{1}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy......................
c) Ta có:
\(x_1^2\cdot x_2+x_1\cdot x_2^2=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\\ =\left(-6m-9\right)\left(2m\right)\\ =-12m^2-18m\\ =-3\left(4m^2+6m\right)\\ =-3\left[\left(2m\right)^2+2\cdot2m\cdot\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]+\frac{27}{4}\\ =-3\left(2m+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\le\frac{27}{4}\)
Vậy GTLN của biểu thức trên là \(\frac{27}{4}\Leftrightarrow2m+\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{4}\)
