Question

Cho phương trình x² - (2m+5)x +2m + 1 = 0 với m là tham số có 2 nghiệm dương phân biệt x1,x2 . Tìm m thỏa mãn \(\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x}_2\right|\) có giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

Để pt có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(2m+5\right)^2-4\left(2m+1\right)\\x_1+x_2=2m+5>0\\x_1x_2=2m+1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m^2+12m+21>0\\m>-\frac{5}{2}\\m>-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-\frac{1}{2}\)

Đặt \(A=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|>0\)

\(\Leftrightarrow A^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}\)

\(A^2=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)

\(A^2=2m+1-2\sqrt{2m+1}+1+3\)

\(A^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+3\ge3\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{3}\Rightarrow A_{min}=\sqrt{3}\) khi \(\sqrt{2m+1}=1\Rightarrow m=0\)