Ta có:
\(\Delta'=b'^2-ac=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(m-3\right)\\ =m^2-2m+1-m+3\\ =m^2-3m+4\\ =m^2-2\cdot m\cdot\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\\ =\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\forall m\)
Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm x1; x2 phân biệt với mọi giá trị của m
Áp dụng Viet, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=m-3\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(A=x_1^2+x_2^2\\ =x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2\\ =\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ =\left[2\left(m-1\right)\right]^2-2\left(m-3\right)\\ =4m^2-8m+4-2m+6\\ 4m^2-10m+10\\ =\left(2m\right)^2-2\cdot2m\cdot\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+\frac{15}{4}\\ =\left(2m-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}\forall m\)
Vậy min A = \(\frac{5}{2}\) khi \(2m-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow2m=\frac{5}{2}\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}\left(tm\right)\)
