Question

Cho phương trình x² - 2 (m+3)x + m² + 3
a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x₁³ + x₂³ = 4
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu
e) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm
f) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dương

Answer 1

Lời giải:

a) Để PT có nghiệm thì:

\(\Delta'=(m+3)^2-(m^2+3)\ge 0\)

\(\Leftrightarrow 6m+6\geq 0\Leftrightarrow m\ge -1\)

--------------------------------------------

Điều kiện để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2$ : \(\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow 6m+6>0\leftrightarrow m> -1\).

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+3)\\ x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\)

b)

\(x_1^3+x_2^3=4\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=4\)

\(\Leftrightarrow 8(m+2)^3-6(m^2+3)(m+3)=4\)

\(\Leftrightarrow m^3+27m^2+99m+79=0\)

Mà với mọi $m>-1$ thì:

\(m^3+27m^2+99m+79=(m+1)^2(m+25)+48(m+1)+6>0\) nên không tồn tại $m$ thỏa mãn đề bài.

c)

Để PT có 2 nghiệm trái dấu:

\(x_1x_2< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2+3< 0\Leftrightarrow m^2< -3< 0\) (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ để pt có 2 nghiệm trái dấu.

Answer 2

d)

Để PT có 2 nghiệm cùng dấu:

\(\Leftrightarrow x_1x_2>0\)

\(\Leftrightarrow m^2+3>0\) (luôn đúng với mọi $m\in\mathbb{R}$)

Kết hợp với điều kiện $(*)$ (điều kiện để pt có 2 nghiệm phân biệt) , suy ra để pt có 2 nghiệm cùng dấu thì $m>-1$

e) Để pt có 2 nghiệm cùng âm:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+3)< 0\\ x_1x_2=m^2+3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m< -3\\ m\in\mathbb{R}\end{matrix}\right.\Rightarrow m< -3\)

Kết hợp $(*)$ $m>-1$ suy ra $-1< m< -3$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn điều kiện đã cho.

f)

Để PT có 2 nghiệm cùng dương:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+3)>0\\ x_1x_2=m^2+3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-3\\ m\in\mathbb{R}\end{matrix}\right.\Rightarrow m>-3\)

Kết hợp với $(*)$ suy ra $m>-1$ thì điều kiện được thỏa mãn.