Question

Cho p và p+4 là các số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng p+8 là hợp số

Answer 1

p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+2 => p+4=3k+2+4=3k+6 là hợp số (loại)

=>p=3k+1

=>p+8=3k+1+8=3k+9 là hợp số

Ta được đpcm

Answer 2

Giả sử p là 1 số nguyên tố >3, do p không chia hết cho 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 nhưng do p +4 là số nguyên tố nên p không thể có dạng 3k + 2 vậy p có dạng 3k +1. Vậy p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên nó là hợp số.

Answer 3

Số nguyên tố \(p > 3\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\)

Xét\(\left\{{}\begin{matrix}p=3k+1\\p+4=3k+1+4=3k+5\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn là số nguyên tố theo đề bài)

Xét \(\left\{{}\begin{matrix}p=3k+2\\p+4=3k+2+4=3k+6=3\left(k+2\right)\end{matrix}\right.\) là hợp số \(\Rightarrow\) loại

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}p=3k+1\\p+8=3k+1+8=3k+9=3\left(k+3\right)\end{matrix}\right.\) là hợp số ( đpcm)