Question

 Cho p là tích của 2022 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p-1 và p+1 khong là số chính phương

Answer 1

Do p là tích của 2022 số nguyên tố đầu tiên nên p là số chẵn chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (do 2022 số nguyên tố đầu tiên chỉ có 2 là chẵn còn lại là số lẻ). (1)

\(\Rightarrow p-1\) và \(p+1\) lẻ

Giả sử \(p+1\) là SCP \(\Rightarrow p+1\) là SCP lẻ

\(\Rightarrow p+1=\left(2k+1\right)^2\)

\(\Rightarrow p+1=4k^2+4k+1\)

\(\Rightarrow p=4\left(k^2+k\right)⋮4\) (mâu thuẫn với (1))

\(\Rightarrow p+1\) không là SCP

Mặt khác trong 2022 số nguyên tố đầu tiên có mặt số 3 nên \(p\) chia hết cho 3

\(\Rightarrow p-1\) chia 3 dư 2

Mà mọi số chính phương chia 3 chỉ có các số dư 0 hoặc 1

\(\Rightarrow p-1\) cũng không thể là số chính phương