Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p \(⋮\) 2 và p \(⋮̸\) (*)
Ta chứng minh p+1 là số chính phương :
Giả sử phản chứng p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 ( m \(\in\) N )
Vì p chẵn nên p+1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ
Đặt m = 2k+1 ( k \(\in\) N ) .
Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 => p+1 = 4k2 + 4k + 1
=> p = 4k2 + 4k = 4k( k + 1 ) \(⋮\)4 . Mâu thuẫn với (*)
Vậy giả sử phản chứng là sai tức p+1 là số chính phương .
Ta chứng minh p-1 là số chính phương .
Ta có : p = 2.3.5.7.... là số \(⋮\)3 => p-1 có dạng 3k+2
Vì không có số chính phương nào có dang 3k+2 nên p-1 không là số chính phương .
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương => ( đpcm )
