Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix}
\\
(1+1)^3=1^3+3.1^2+3.1+1^3\\
(2+1)^3=2^3+3.2^2+3.2+1^3\\
......\\
(100+1)^3=100^3+3.100^2+3.100+1^3\\
\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 2^3+3^3+...+101^3=(1^3+2^3+...+100^3)+3(1^2+2^2+....+100^2)+3(1+2+...+100)+100\)
\(\Leftrightarrow 101^3=1^3+3(1^2+2^2+...+100^2)+\frac{3.100(100+1)}{2}+100\)
\(\Leftrightarrow 101^3-101-15150=3(1^2+2^2+...+100^2)\)
\(\Leftrightarrow 101(101^2-151)=3(1^2+2^2+...+100^2)\)
\(\Leftrightarrow 3P=101(101^2-151)\)
\(\Rightarrow 3P\vdots 101\Leftrightarrow P\vdots 101\)
Mà \(101^2-151\not\vdots 101\Rightarrow 3P\not\vdots 101^2\)
\(\Leftrightarrow P\not\vdots 101^2\)
P là số chia hết cho số nguyên tố 101 nhưng không chia hết cho $101^2$ nên P không phải số chính phương.
