Cho nửa (O) dường kính AB =2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm ) .AC cắt OM tại E ;MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khacsB) . CMR :
a.AMOC là tứ giác nội tiếp
b. AMDE là tứ giác nội tiếp
c. \(\widehat{ADE}=\widehat{ACO}\)
Lời giải:
Vì $MA,MC$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(MA\perp OA, MC\perp OC\)
\(\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MCO}=90^0\)
Xét tứ giác $AMCO$ có tổng 2 góc đối nhau \(\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=90^0+90^0=180^0\) nên $AMCO$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ($MA$, $MC$) thì \(MA=MC\)
Mà \(OA=OC=R\)
\(\Rightarrow MO\) là đường trung trực của $AC$
\(\Rightarrow MO\perp AC\Rightarrow \widehat{MEA}=90^0(1)\)
Lại có:
\(\widehat{ADB}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow \widehat{MDA}=180^0-\widehat{ADB}=90^0(2)\)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow \widehat{MEA}=\widehat{MDA}\). Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $MA$ nên tứ giác $AMDE$ là tgnt.
c)
$AMDE$ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AME}=\widehat{AMO}\)
$AMCO$ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{AMO}=\widehat{ACO}\)
\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{ACO}\)
Ta có đpcm.
