Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn và điểm D trên đoạn OA. Vẽ các tiếp tuyến Ax,By của nửa đường tròn. Đường thẳng qua C, vuông góc với CD cắt tiếp tuyến Ax, By lần lượt tại tại M và N.
a)Chứng minh tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp đường tròn.
b)Chứng minh góc MDN = 90 độ
c)Gọi P là giao điểm của AC và DM, Q là giao điểm của BC và DN. Chứng minh rằng PQ song song với AB.
a) Ta có AM và BN đều là tiếp tuyến của đường tròn\(\Rightarrow\widehat{MAD}=\widehat{NBD}=90^0\)
Xét tứ giác ADCM có \(\widehat{MCD}+\widehat{MAD}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác ADCM nội tiếp đường tròn
Xét tứ giác BDCN có \(\widehat{DCN}+\widehat{NBD}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác BDCN nội tiếp đường tròn
b) Ta có các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{MDC}=\widehat{MAC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Và \(\widehat{NDC}=\widehat{CBN}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CN)
Mà \(\widehat{MAC}=\widehat{ABC}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
\(\widehat{CBN}=\widehat{BAC}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)
Và \(\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=90^0\)
Suy ra \(\widehat{MDC}+\widehat{CDN}=90^0\Rightarrow\widehat{MDN}=90^0\)
c) Xét tứ giác CPDQ có \(\widehat{MDN}+\widehat{PCQ}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác CPDQ nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{CQP}=\widehat{CDP}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CP)\(=\widehat{MAC}=\widehat{CBA}\Rightarrow\widehat{CQP}=\widehat{CBA}\) hay PQ//AB(2 góc so le trong bằng nhau)
