Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai của bình phương

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tuệ Nhi

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuôg góc với AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nưat đường tròn đã cho. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại D và E. Cmr:

a. DE=AD+BE và DOE=90°

b. AD.BE có giá trị không đổi khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O

c. AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE

Akai Haruma
28 tháng 11 2018 lúc 11:59

Lời giải:

a) \(Ax,By\perp AB\) mà $AB$ là đường kính nên \(\Rightarrow Ax\perp OA; By\perp OB\)

Tức là $Ax,By$ là tiếp tuyến của $(O)$

Ta thấy $DA, DM$ đều là tiếp tuyến của $(O)$. Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm \(\Rightarrow DA=DM(1)\)

Tương tự: $EM, EB$ là tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại điểm $E$ nên \(EB=EM(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow DM+EM=DA+EB\Rightarrow DE=DA+BE\) (đpcm)

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm:

\(OD\) là phân giác \(\widehat{AOM}\)

\(OE\) là phân giác \(\widehat{EOM}\)

\(\widehat{AOM}; \widehat{EOM}\) là 2 góc kề bù nên \(OD\perp OE\Rightarrow \widehat{DOE}=90^0\)

Akai Haruma
28 tháng 11 2018 lúc 12:09

b)

Theo kết quả phần a:

\(\left\{\begin{matrix} AD=DM\\ BE=EM\end{matrix}\right.\Rightarrow AD.BE=DM.EM(1)\)

Vì $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$ có tiếp điểm $M$ nên \(OM\perp DE\)

Xét tam giác vuông $DOE$ (đã cm tại phần a) có đường cao $OM$ nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(DM.EM=OM^2=R^2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow AD.BE=R^2\) không đổi khi $M$ thay đổi trên nửa đường tròn tâm $O$

c) Gọi $K$ là trung điểm của $DE$. Đường tròn đường kính $DE$ chính là đường tròn $(K)$

Do $DOE$ là tam giác vuông tại $O$ nên đường trung tuyến \(OK=\frac{DE}{2}=DK=EK\)

Vậy $(K)$ đi qua điểm $O$

Mặt khác xét hình thang $DABE$ (\(DA\parallel BE\) ) có $O$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm $DE$ nên $OK$ là đường trung bình của hình thang

\(\Rightarrow OK\parallel AD\). Mà \(AD\perp AB\Rightarrow OK\perp AB\)

Như vậy, $AB$ vuông góc với bán kính $OK$ của đường tròn $(K)$ tại tiếp điểm $O$ nên $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đó (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
khanhh
Xem chi tiết
khanhh
Xem chi tiết
Armldcanv0976
Xem chi tiết
Trần Thu Phương
Xem chi tiết
Hwang Beak Yang
Xem chi tiết
Vũ Minh Hoa
Xem chi tiết
2. Lê Thị Vân Anh 9a5
Xem chi tiết
Đinh Thế Sơn
Xem chi tiết
Minh
Xem chi tiết